Finn Aaberg voksede op i et middelklassehjem i Brønshøj som søn af en hjemmegående mor og en politiansat far. Trods en uddannelse i biokemi fra Københavns Universitet valgte Finn Aaberg et liv i politik; han blev som 30-årig medlem af kommunalbestyrelsen for socialdemokraterne i Albertslund Kommune, og efter syv år på posten overtog han i 1978 borgmesterposten i Albertslund.
Først efter kommunalvalget i 2009 forlod han posten som ”bykonge” af Albertslund, og partifællen Steen Christiansen overtog borgmesterkontoret.
Men det blev dog til yderligere fire år som menigt medlem af kommunalbestyrelsen, inden Finn Aaberg med udgangen af 2013 sagde endeligt farvel til lokalpolitik.
Med et brændende engagement stod Finn Aaberg i spidsen for en bemærkelsesværdig udvikling i den københavnske omegnskommune, hvor han især prioriterede kulturen, børneområdet og miljøet.
Han var i en lang årrække formand for DR's bestyrelse. Det var imidlertid først efter formandstiden, da Finn Aaberg sad for bordenden i DR-bestyrelsens særlige byggeudvalg, at han for alvor blev kendt i en større offentlighed, da prisen på byggeriet i Ørestad løb løbsk. Efter en kritisk revisionsrapport om DR-byggeriet i Ørestad, der viste sig at blive langt dyrere end forudset, meddelte Finn Aaberg i sommeren 2008, at han trak sig tilbage fra bestyrelsen.
Senere kom det frem, at daværende kulturminister Brian Mikkelsen (K) under alle omstændigheder ville have afskediget Aaberg som en konsekvens af den kuldsejlede økonomi, hvis ikke denne selv havde trukket sig tilbage. Budgetoverskridelserne i DR Byen havde forinden også kostet Mogens Munk-Rasmussen posten som formand for DR's bestyrelse.
I sin fritid holder Finn Aaberg af at pleje sin store interesse for klassisk musik.